Real എന്ന വാക്കിന്റെ അര്‍ഥം "യഥാര്‍ഥം" "വാസ്തവം" "സത്യത്തില്‍ ഉള്ളത്" എന്നൊക്കെയാണ്. Number എന്നാല്‍ സംഖ്യ. Real Number, വാസ്തവിക സംഖ്യ. അപ്പോള്‍ അവാസ്തവിക സംഖ്യകളും ഉണ്ടോ ? ഉണ്ടെന്നു വേണം കരുതാന്‍. ശരിയാണ്. Imaginary Numbers എന്നാണ് അവ അറിയപ്പെടുന്നത്.സാങ്കല്‍പിക സംഖ്യകള്‍. Real Numbers-ഉം Imaginary Numbers-ഉം ഉള്‍പ്പെടുന്ന Complex Number കളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് Number Theory എന്ന് ഇംഗ്ലീഷിലും സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തം എന്ന് മലയാളത്തിലും അറിയപ്പെടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖ. കൂട്ടലും കുറയക്കലും ഗുണിക്കലും ഹരിക്കലും പോലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഗണിതക്രിയകള്‍ ചെയ്യുന്നതിനെ Arithmetic (അരിത്തമറ്റിക്സ് ) എന്നു വിളിക്കുന്നു.
"Arithmetic is the branch of mathematics dealing with the properties and manipulation of numbers."
എന്താണ് Real Number എന്ന് വിശദമായി പഠിക്കുന്നതിനു മുമ്പ് സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗീകരണം ( Classification) എങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടിക നോക്കുക.
ഈ ചാര്‍ട്ട് കണ്ടാല്‍ എല്ലാ Numbers ഉം Complex Numbers ആണെന്ന് കാണാം. ശരിയാണോ ? അതിന്‍റെ ഉത്തരം പറയണമെങ്കില്‍ എന്താണ് Complex Number എന്ന് മനസ്സിലാകണം. പേരുകേട്ടാല്‍ തോന്നും Complex എന്നത് എന്തോ Complicated സംഗതി ആണെന്ന് . ഷോപ്പിംഗ്‌ കൊമ്പ്ലെക്സ്‌ എന്നു പറയന്നത് പോലെയേ ഉള്ളൂ, ഒന്നിലധികം എന്നാണ് അര്‍ഥം.
ഒരു റിയല്‍ നമ്പറും ഒരു ഇമാജിനറി നമ്പറും ചേര്‍ന്നാണ് കൊമ്പ്ലെക്സ്‌ നമ്പര്‍ ഉണ്ടാകുന്നത്. എല്ലാ നമ്പറുകളും കൊമ്പ്ലെക്സ്‌ നമ്പറുകള്‍ ആണെന്ന് പറയാം.
Complicated ?
പ്രൈം നമ്പറുകളും കോമ്പസിറ്റ് നമ്പറുകളും ഒരുതാരതമ്യ പഠനം താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
സംഖ്യകള്‍
1. എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ . (Counting Numbers)
എണ്ണുുവാന്‍ വേണ്ടി ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകള്‍ ആണ് എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ . ഇവയെ നിസ്സര്‍ഗ സംഖ്യകള്‍എന്നും പോസിറ്റീവ് പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍എന്നുംപറയുന്നു.
ഉദാ: 1 2 3 4 5 ............... N നിസ്സര്‍ഗസംഖ്യ ആയാല്‍ അടുത്ത സംഖ്യ N + 1 ആയിരിക്കും
2 . ഒറ്റ സംഖ്യകള്‍ . ( Odd Numbers)
1 , 3 , 5 , 7 , 9 .................... തുടങ്ങിയ സംഖ്യ ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളെ ഒറ്റ സംഖ്യകള്‍ എന്ന് പറയുന്നു .
3. ഇരട്ട സംഖ്യകള്‍ ( Even Numbers)
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 ............... തുടങ്ങിയ സംഖ്യ ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളെ ഇരട്ട സംഖ്യകള്‍ എന്ന് പറയുന്നു .
4. അഖണ്ഡ സംഖ്യകള്‍ ( Whole Numbers)
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ................ 0 ത്തില്‍ തുടങ്ങുന്ന എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളെ അഖണ്ഡ സംഖ്യകള്‍എന്ന്വിളിക്കുന്നു .
5. പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ( Integers )
എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളും അവയുടെ നെഗറ്റീവും പൂജ്യവും ചേര്‍ന്നതാണ് പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍
.......... -4 , -3 , -2 , -1 , ൦ , 1 , 2 , 3 , 4 .........
6. ഭിന്നക സംഖ്യകള്‍ ( Rational Numbers)
A യും B യും പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ആകുമ്പോള്‍ A/B ( എ ബൈ ബി) എന്ന് അവതരിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളെ ഭിന്നക സംഖ്യകള്‍എന്നുപറയുന്നു .(Bഒരിക്കലുംപൂജ്യംആകരുത് ,കാരണം പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം നിര്‍വചിക്കപെട്ടിട്ടില്ല )
7. അഭിന്നക സംഖ്യകള്‍ ( Irrational Numbers)
A യും B യും പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ആകുമ്പോള്‍ A/B ( എ ബൈ ബി) എന്ന് അവതരിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളെ അഭിന്നക സംഖ്യകള്‍എന്നുപറയുന്നു
ഉദാ: റൂട്ട് 2 , റൂട്ട് 5, പൈ , ഇവയൊക്കെ അഭിന്നകമാണ് റ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
"Arithmetic is the branch of mathematics dealing with the properties and manipulation of numbers."
എന്താണ് Real Number എന്ന് വിശദമായി പഠിക്കുന്നതിനു മുമ്പ് സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗീകരണം ( Classification) എങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടിക നോക്കുക.
ഈ ചാര്‍ട്ട് കണ്ടാല്‍ എല്ലാ Numbers ഉം Complex Numbers ആണെന്ന് കാണാം. ശരിയാണോ ? അതിന്‍റെ ഉത്തരം പറയണമെങ്കില്‍ എന്താണ് Complex Number എന്ന് മനസ്സിലാകണം. പേരുകേട്ടാല്‍ തോന്നും Complex എന്നത് എന്തോ Complicated സംഗതി ആണെന്ന് . ഷോപ്പിംഗ്‌ കൊമ്പ്ലെക്സ്‌ എന്നു പറയന്നത് പോലെയേ ഉള്ളൂ, ഒന്നിലധികം എന്നാണ് അര്‍ഥം.
ഒരു റിയല്‍ നമ്പറും ഒരു ഇമാജിനറി നമ്പറും ചേര്‍ന്നാണ് കൊമ്പ്ലെക്സ്‌ നമ്പര്‍ ഉണ്ടാകുന്നത്. എല്ലാ നമ്പറുകളും കൊമ്പ്ലെക്സ്‌ നമ്പറുകള്‍ ആണെന്ന് പറയാം.
Complicated ?
പ്രൈം നമ്പറുകളും കോമ്പസിറ്റ് നമ്പറുകളും ഒരുതാരതമ്യ പഠനം താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
സംഖ്യകള്‍
1. എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ . (Counting Numbers)
എണ്ണുുവാന്‍ വേണ്ടി ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകള്‍ ആണ് എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ . ഇവയെ നിസ്സര്‍ഗ സംഖ്യകള്‍എന്നും പോസിറ്റീവ് പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍എന്നുംപറയുന്നു.
ഉദാ: 1 2 3 4 5 ............... N നിസ്സര്‍ഗസംഖ്യ ആയാല്‍ അടുത്ത സംഖ്യ N + 1 ആയിരിക്കും
2 . ഒറ്റ സംഖ്യകള്‍ . ( Odd Numbers)
1 , 3 , 5 , 7 , 9 .................... തുടങ്ങിയ സംഖ്യ ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളെ ഒറ്റ സംഖ്യകള്‍ എന്ന് പറയുന്നു .
3. ഇരട്ട സംഖ്യകള്‍ ( Even Numbers)
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 ............... തുടങ്ങിയ സംഖ്യ ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളെ ഇരട്ട സംഖ്യകള്‍ എന്ന് പറയുന്നു .
4. അഖണ്ഡ സംഖ്യകള്‍ ( Whole Numbers)
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ................ 0 ത്തില്‍ തുടങ്ങുന്ന എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളെ അഖണ്ഡ സംഖ്യകള്‍എന്ന്വിളിക്കുന്നു .
5. പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ( Integers )
എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളും അവയുടെ നെഗറ്റീവും പൂജ്യവും ചേര്‍ന്നതാണ് പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍
.......... -4 , -3 , -2 , -1 , ൦ , 1 , 2 , 3 , 4 .........
6. ഭിന്നക സംഖ്യകള്‍ ( Rational Numbers)
A യും B യും പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ആകുമ്പോള്‍ A/B ( എ ബൈ ബി) എന്ന് അവതരിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളെ ഭിന്നക സംഖ്യകള്‍എന്നുപറയുന്നു .(Bഒരിക്കലുംപൂജ്യംആകരുത് ,കാരണം പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം നിര്‍വചിക്കപെട്ടിട്ടില്ല )
7. അഭിന്നക സംഖ്യകള്‍ ( Irrational Numbers)
A യും B യും പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ആകുമ്പോള്‍ A/B ( എ ബൈ ബി) എന്ന് അവതരിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളെ അഭിന്നക സംഖ്യകള്‍എന്നുപറയുന്നു
ഉദാ: റൂട്ട് 2 , റൂട്ട് 5, പൈ , ഇവയൊക്കെ അഭിന്നകമാണ് റ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ;ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍, രണ്ടു ഘടകങ്ങള്‍ മാത്രം [ 1 ഉം പിന്നെ ഘടകങ്ങളാക്കിയ അതേ സംഖ്യയും മാത്രമാണ് ലഭിക്കുന്നതെങ്കില്‍ അത് പ്രൈം നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഘടകങ്ങള്‍ ലഭിച്ചാല്‍ ആ സംഖ്യ കോമ്പസിറ്റ് നമ്പര്‍ ആയിരിക്കും.
Comments